Потребовалось написать свой модуль для авторизации пользователей. Ниже оставлю код, который позволяет авторизоваться, зная логин и пароль пользователя.
Ручная авторизация в Joomla 3
27.07.2016
Нам нужен метод $app->login:
$app = JFactory::getApplication(); $app->login(array( 'username' => $user->username, 'password' => $user->password_clear) );