Примеров подобного в интернете много, но все они страдают излишествами в виде дополнительных библиотек или лишнего кода.
Есть обновленная статья: Добавляем recaptcha v2 на сайт
Добавляем на сайт google recaptcha
27.10.2016
Добавление на сайт
<script src='https://www.google.com/recaptcha/api.js'></script> <div class="g-recaptcha" data-sitekey="KEY_1"></div>
Проверка
$url = 'https://www.google.com/recaptcha/api/siteverify?secret=KEY_2'
.'&response='.$recaptcha
;
$res = json_decode(file_get_contents($url));
if ($res->success)
{
// OK
}
else
{
// Error!
}